（2）我们可以把一个正方形等分成9个小正方形（类似九宫格），如下图左图所示。那么，分出来的每个正方形又都可以一分为九。我们用数列的方式来表示这种分割：
1， 9， 17， 25， 33，...
（首项为1，公差为8的等差数列）
它的通项为1+8n，其中n=0，1，2，3，... 。
（3）上面两种方法，用的是分割的方法，其实，我们仔细观察上图左图，我们试着用合并的方法看能不能得到新的正整数，它也符合我们题目的要求。如下图所示，把上图左图的九个正方形中处于“田”字型的四个正方形合并为一个正方形，则正方形数量减少3个，成为6个。这就是说， 我们可以把一个正方形分割成6个正方形，其中1大5小。本期问题只关心能够分解出来的正方形的个数，而不关注这些正方形是否一样大。于是，思路开阔了很多。
（4）照着可以合并这个思路，观察下图，可以发现，8这个正整数也是符合题目要求的，即16-9+1=8，或者1+1+2*3=8。即一个正方形可以分割成8个正方形。
（5）数字6，7，8都出现了，也就是说，我们已经能够做到把一个正方形分割成6个、7个或8个正方形。我们又知道，不管分割成多少个正方形，其中的任意一个正方形都可以按“田”字型1分为4，所以，既然分割成6个、7个或8个正方形都可行，那么，分割成9（6+3）个、10（7+3）个或11（8+3）个正方形也就可行。于是可以归纳出，分割成6+3n，7+3n，8+3n都是可能的（其中n = 0，1，2，3，...）。而6+3n，7+3n，8+3n（其中n = 0，1，2，3，...）表示的是大于等于6的一切正整数。
（6）以上我们已经得出，一个正方形可以分割成1个（未分割）、4个及大于等于6的正整数个数的正方形。上面这些正整数再加上2，3，5这三个正整数就可以构成正整数集合了。我们考察一下我们能不能把一个正方形分割成2个正方形、3个正方形、5个正方形。分成2个正方形，这太明显是不可能的。分成3个也明显不可能。分成5个，您能想出怎么分割吗？试几次便可断定也是不可能的。所以，最终，我们得出结论：把一个正方形分割成一些正方形，那么，我们可以把一个正方形分割成除2，3和5以外所有其他正整数个数的正方形。
（7）到此可以结束本文了。但还是想多介绍一些知识给您。一个正方形分割成某一数量的正方形的方法可能不止一种，研究一下不同的分割方法也是很有意思的。比如，下图所示两种方法都可以把一个正方形分割成12个正方形。左图：4-1+9=12。右图：9-1+4=12。
（8）数学界以前曾有人研究过把一个正方形分割成大小都不相同的一系列正方形这样的问题，这样的分割称为“完全的”或“完美的”。如果真的存在一种这样的完全分割，那么我们称实现了这种分割的正方形为完全正方形。下图给出了一种完全正方形。它是由24个不同大小的正方形拼成，中间当然不能留有任何缝隙更不能有重叠。其中的数字代表这个正方形的边长。您可以加一加，验证一下。
完全正方形问题本是数学中另一研究领域的问题，放在这里，一是正好给您介绍一下完全正方形是怎么回事，二是因为它正好也是一种分割方法，与我们本期讨论的问题是吻合的。我们本期前面已经得出结论：一个正方形可以分割成1个、4个、6个及大于6的正整数个数的正方形。那么当然24也在上述这个数列中，也就是说，我们前面根本没有启用完全正方形就已经有了把一个正方形分割成24个正方形的方法。本来我们已经彻底解决了正方形分割成一些小正方形的个数的问题，这里介绍完全正方形，您就把它当成一种有趣的拓展吧。这会让我们觉得原来数学有些问题可以有重叠，重叠得那么美妙、惊艳！
下面是把一个正方形分割成24个正方形的常规方法之一，如下图所示。
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