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求(1-1/n)^n,n-＞∞的极限

最新推荐文章于 2021-07-22 21:01:24 发布

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#极限定理

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本文详细展示了如何使用洛必达法则证明当n趋于无穷大时，(1-1/n)^n的极限等于1/e。通过构造辅助变量和运用数学技巧，最终得出结论。

证明：lim⁡n→∞(1−1n)n=1e\lim\limits_{n\rightarrow\infty}({1-\frac{1}

{n}})^n=\frac{1}{e}n→∞lim​(1−n1​)n=e1​

解：令y=(1−1n)ny=({1-\frac{1}{n}})^ny=(1−n1​)n

则lny=nln(1−1/n)lny=nln(1-1/n)lny=nln(1−1/n)

令t=1/nt=1/nt=1/n则n→∞n\rightarrow\inftyn→∞时n→0n\rightarrow 0n→0

lim⁡n→∞nln(1−1/n)=lim⁡t→0ln(1−t)t\lim\limits_{n\rightarrow\infty}nln(1-1/n)=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1-t)}{t}n→∞lim​nln(1−1/n)=t→0lim​tln(1−t)​

由洛必达法则：

lim⁡n→∞nln(1−1/n)=lim⁡t→0ln(1−t)′t′=lim⁡t→01t−1=−1\lim\limits_{n\rightarrow\infty}nln(1-1/n)=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1-t)^{'}}{t^{'}}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t-1}=-1n→∞lim​nln(1−1/n)=t→0lim​t′ln(1−t)′​=t→0lim​t−11​=−1

所以lim⁡n→∞(1−1n)n=1e\lim\limits_{n\rightarrow\infty}({1-\frac{1}{n}})^n=\frac{1}{e}n→∞lim​(1−n1​)n=e1​